Должны. У нас, например, прямо в лифте висит табличка, которая информирует о том, когда было последнее техобслуживание и когда следующее запланировано 

На самом деле все не так просто. Вы же знаете в какой стране мы живем. Здесь все деньги решают. Так что когда встает вопрос о том, с кем заключить договор на обслуживание лифта, то выбирают подрядчика как правило по цене. Чем дешевле - тем лучше. А на деле выходит, что эти горе фирмы галочку о ТО ставят, а сами ничего не делают. Вот и результат! Да вы сами можете вот здесь почитать о том, почему падают лифты в России: http://liftmach.ru/normativy-i-bezopasnost/pochemu-padayut-lifty-v-rossii/